א. לפניכם נוסחאות הסכום של n איברים ראשונים בשלוש סדרות כלשהן.
חשבו, עבור כל אחת מהן, את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה:
1.
2.
3.
ב. קבעו, האם נכונות הטענות הבאות:
1. לסכום בכל סדרה מתקיים לכל n טבעי? נמקו.
2. נוסחת הסכום של n איברים בסדרה חשבונית היא פונקציה ריבועית ב-n.
וכל פונקציה ריבועית ב-n מתאימה לתאר סכום של n איברים ראשונים בסדרה חשבונית.
הנחיות
כיוון ראשון:
א. רשמו את נוסחת הסכום של n איברים ראשונים בסדרה חשבונית שאיבריה הראשונים הם: 31,28,25…
ב. רשמו נוסחאות סכום לסדרות חשבוניות נוספות ובחנו: האם בכל המקרים נוסחת הסכום של n איברים ראשונים בסדרה חשבונית: האם היא פונקציה ריבועית ב- n ?
ג. הסבירו מדוע סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית הוא פונקציה ריבועית ב-n.
כיוון שני:
א. חשבו את ארבעת האברים הראשונים בסדרה שמקיימת את הכלל:
ב. מהו, האיבר במקום החמישי? במקום השישי? האם עד כה ההפרשים קבועים?
ג. מצאו, בעזרת הנוסחה לסכום, כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-n.
ד. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הוכיחו טענתכם.
ה. חזרו על הפעולות בסעיפים א-ד גם עבור הסדרה שמקיימת את הכלל:
ו. מצאו כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-n.
ז. האם הכלל מתאים לכל איבר בסדרה? (לכל n טבעי?)
ח. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הסבירו.
ט. חשבו את ארבעת האברים הראשונים בסדרה שמקיימת את הכלל:
י. מצאו כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-n.
יא. האם הכלל מתאים לכל איבר בסדרה? (לכל n טבעי?)
יב. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הוכיחו טענתכם.
יג. הסבירו מדוע יש לבדוק באופן מפורש את ההפרש בין כדי להחליט האם הסדרה חשבונית.
יד. הציעו שתי פונקציות ריבועיות נוספות שמתאימות, לדעתכם, לתאר סכומים של סדרות חשבוניות. בדקו התאמתן.
טו. נסחו מסקנה: באיזה תנאי פונקציה ריבועית מתארת סכום של סדרה חשבונית.