כרטיס מטרה - מדרגה 2 (תלמיד)

א. לפניכם נוסחאות הסכום של n איברים ראשונים בשלוש סדרות כלשהן.

חשבו, עבור כל אחת מהן, את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה:

1. $S_n=3n^2-n$

2. $S_n=3n^2-\frac{1}{n}$

3. $S_n=3n^2-n+5$

ב. קבעו, האם נכונות הטענות הבאות:

1. לסכום בכל סדרה מתקיים $a_n=S_n-S_{n-1}$ לכל n טבעי? נמקו.

2. נוסחת הסכום של n איברים בסדרה חשבונית היא פונקציה ריבועית ב-n.

וכל פונקציה ריבועית ב-n מתאימה לתאר סכום של n איברים ראשונים בסדרה חשבונית.

הנחיות

א. בחנו את נוסחת הסכום של n איברים ראשונים בסדרה חשבונית: האם היא פונקציה ריבועית ב- n ?

ב. חשבו את ארבעת האברים הראשונים בסדרה שמקיימת את הכלל: $S_n=3n^2-n$

ג. מצאו כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-n.

ד. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הוכיחו טענתכם.

ה. חשבו את ארבעת האברים הראשונים בסדרה שמקיימת את הכלל: $S_n=3n^2-\frac{1}{n}$

ו. מצאו כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-n.

ז. האם הכלל מתאים לכל איבר בסדרה? (לכל n טבעי?)

ח. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הוכיחו טענתכם.

ט. חשבו את ארבעת האברים הראשונים בסדרה שמקיימת את הכלל: $S_n=3n^2-n+6$

י. מצאו כלל שמגדיר את האיבר במקום ה-n.

יא. האם הכלל מתאים לכל איבר בסדרה? (לכל n טבעי?)

יב. האם, לדעתכם, הסדרה חשבונית? הוכיחו טענתכם.

יג. הסבירו מדוע יש לבדוק באופן מפורש את ההפרש בין $a_2-a_1$ כדי להחליט האם הסדרה חשבונית.

יד. נסחו מסקנה: באיזה תנאי פונקציה ריבועית מתארת סכום של סדרה חשבונית.