ישר ושתי נקודות - פתרון מודרך (תלמיד)

לתלמיד (ישן)‏ > ‏ישר ושתי נקודות - כמה פתרונות?‏ > ‏ישר ושתי נקודות - כרטיס משימה (תלמיד)‏ > ‏

ישר ושתי נקודות - פתרון מודרך (תלמיד)

פתרו את הבעיה הבאה: ישר ושתי נקודות - כרטיס משימה

יש למצוא משוואות של ישרים שמקיימים את התנאים הבאים:

עוברים דרך נקודה נתונה ומרחקם מנקודה אחרת נתון.

מקרה א – עוברים דרך $E(-7,0)$ ומרחקם מהנקודה $F(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

(יש יותר מהפתרון המוצג בשרטוט)

מקרה ב – עוברים דרך $(16,5)$ ומרחקם מהנקודה $(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

פתרון מודרך באמצעות נוסחת מרחק נקודה מישר למציאת משוואותיהם של הישרים:

שעוברים דרך $(-7,0)$ ומרחקם מהנקודה $(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

ישר מוצג באחת משתי דרכים:

(1) משוואה מפורשת: $y = mx + n$

(2) משוואה כללית: $Ax + By + C = 0$

א. בחרו באחת משתי האפשרויות ורשמו משוואה של ישר שעובר בנקודה $(-7,0)$ .

אם בחרתם במשוואה מפורשת, קיבלתם משפחת ישרים עם פרמטר אחד (m או n, לפי בחירתכם).

אם בחרתם במשוואה כללית, קיבלתם משפחת ישרים עם שני פרמטרים (שניים מתוך C ,B ,A, לפי בחירתכם).

ב. השתמשו בנוסחת המרחק $(x_{0}, y_{0})$ מישר:

עבור הצגה מפורשת: $d = \frac{|mx_{0} - y_{0} + n|}{\sqrt{1 + m ^{^{2}}}}$ , עבור משוואה כללית: $d = \frac{|Ax_{0} + By_{0} + C|}{\sqrt{A ^{^{2}} + B ^{^{2}}}}$

ובטאו באמצעותה את הנתון הנוסף: המרחק של הישר מ- $(0,1)$ הוא: 5 יחידות אורך.

ג. פתרו את המשוואה שקיבלתם ומצאו את הישר המבוקש, כלומר, מצאו את ערכי הפרמטרים,

שעונים על כל תנאי השאלה. כמה פתרונות קיבלתם? הסבירו גם את המצב הגיאומטרי.

*אם נתקלתם בקושי לפתור משוואה ריבועית עם שני נעלמים, ראו רמז בהמשך.

ד. חזרו על תהליך הפתרון פעם נוספת: אם פתרתם בעזרת משוואה מפורשת של ישר, השתמשו

כעת במשוואה כללית ולהיפך.

איזו דרך תעדיפו? נמקו.

כדי לפתור משוואה מהצורה: $3A ^{^{2}} + 4AB - 4B^{^{2}} = 0$ אפשר:

(1) לפרק לגורמים לפי קבוצות, כמו שמפרקים טרינום במשתנה אחד לגורמים:

$3A ^{^{2}} + 4AB - 4B^{^{2}} = 3A ^{^{2}} + 6AB - 2AB - 4B^{^{2}} = 3A(A + 2B) - 2B(A + 2B) =(A + 2B)(3A - 2B)$

(2) לפתור משוואה ריבועית ב- $A ^{^{2}}$ ולהתייחס ל- B כאל פרמטר:

$A_{1,2} = \frac{-4B \pm \sqrt{16B^{2} + 48B^{2}}} {6}$

(3) לחלק ב- $B ^{^{2}}$ ולפתור משוואה ריבועית ב- $\frac{A}{B}$ :

$3(\frac{A}{B})^{2} + 4(\frac{A}{B}) - 4 = 0$

חישבו: מדוע מותר לחלק?

ה. חיזרו על התהליך כדי למצוא את משוואות הישרים העוברים דרך $(16,5)$ שמרחקם מהנקודה $(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

הקפידו גם במקרה זה לבצע את התהליך פעמיים: פעם אחת עם משוואה מפורשת של ישר שעובר דרך $(16,5)$ ופעם אחת עם משוואה כללית.

תארו את ההבדלים בין שתי הדרכים. איזו דרך תעדיפו? נמקו.