ישר ושתי נקודות - פתרון מודרך (תלמיד)


פתרו את הבעיה הבאה: ישר ושתי נקודות - כרטיס משימה
יש למצוא משוואות של ישרים שמקיימים את התנאים הבאים: 
עוברים דרך נקודה נתונה ומרחקם מנקודה אחרת נתון. 
מקרה א – עוברים דרך  ומרחקם מהנקודה הוא: 5 יחידות.

(יש יותר מהפתרון המוצג בשרטוט)

מקרה ב – עוברים דרך ומרחקם מהנקודה הוא: 5 יחידות.







 
פתרון מודרך באמצעות נוסחת מרחק נקודה מישר למציאת משוואותיהם של הישרים:
שעוברים דרך  ומרחקם מהנקודה  הוא: 5 יחידות. 

ישר מוצג באחת משתי דרכים:
(1) משוואה מפורשת: 
(2) משוואה כללית: 

א. בחרו באחת משתי האפשרויות ורשמו משוואה של ישר שעובר בנקודה . 
אם בחרתם במשוואה מפורשת, קיבלתם משפחת ישרים עם פרמטר אחד (m או n, לפי בחירתכם).
אם בחרתם במשוואה כללית, קיבלתם משפחת ישרים עם שני פרמטרים (שניים מתוך C ,B ,A, לפי בחירתכם).

ב. השתמשו בנוסחת המרחק מישר:

עבור הצגה מפורשת: ,   עבור משוואה כללית:
ובטאו באמצעותה את הנתון הנוסף: המרחק של הישר מ-  הוא: 5 יחידות אורך. 

ג. פתרו את המשוואה שקיבלתם ומצאו את הישר המבוקש, כלומר, מצאו את ערכי הפרמטרים,
   שעונים על כל תנאי השאלה. כמה פתרונות קיבלתם? הסבירו גם את המצב הגיאומטרי.
*אם נתקלתם בקושי לפתור משוואה ריבועית עם שני נעלמים, ראו רמז בהמשך.

ד. חזרו על תהליך הפתרון פעם נוספת: אם פתרתם בעזרת משוואה מפורשת של ישר, השתמשו
כעת במשוואה כללית ולהיפך.

איזו דרך תעדיפו? נמקו.


כדי לפתור משוואה מהצורה: אפשר:

(1) לפרק לגורמים לפי קבוצות, כמו שמפרקים טרינום במשתנה אחד לגורמים:


(2) לפתור משוואה ריבועית ב- ולהתייחס ל- B כאל פרמטר:


(3) לחלק ב- ולפתור משוואה ריבועית ב-:


חישבו: מדוע מותר לחלק?

ה. חיזרו על התהליך כדי למצוא את משוואות הישרים העוברים דרך  שמרחקם מהנקודה  הוא: 5 יחידות

הקפידו גם במקרה זה לבצע את התהליך פעמיים: פעם אחת עם משוואה מפורשת של ישר שעובר דרך  ופעם אחת עם משוואה כללית.

תארו את ההבדלים בין שתי הדרכים. איזו דרך תעדיפו? נמקו.