כרטיס 4 - מדרגה 3 (תלמיד)

לתלמיד (ישן)‏ > ‏סינוסים או קוסינוסים - בעיות מורכבות - צ.צ.ז. ומכשלות - מבנה המשימה‏ > ‏כרטיס 4 - קריאת פתרון (תלמיד)‏ > ‏

כרטיס 4 - מדרגה 3 (תלמיד)

לפניכם פתרון של תלמיד לשאלה מכרטיס מטרה ב'. ובהמשך פתרון נוסף. איזהו הפתרון הנכון? כיצד ייתכן שמתקבלות שתי תשובות שונות?

פתרון של תלמיד:

נסמן: $x=OB$ . נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש AOC:

$AO^2=x^2=24^2+8^2-2\cdot 24\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ}$ . מקבלים: $x=8\sqrt{7}$ .

כעת, כדי למצוא את BC, נרצה להשתמש במשולש שווה השוקיים COB. נחשב את זווית הראש שלו לפי הצמודה שלה: זווית COA.

לפי משפט הסינוסים במשולש AOC: $\frac{AO}{\sin 60^{\circ}}=\frac{AC}{\sin_{\measuredangle AOC}}$ , כלומר: $\frac{8\sqrt{7}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{24}{\sin_{\measuredangle AOC}}$

ומכאן: $\sin_{\measuredangle AOC}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ ולכן: $\measuredangle AOC=79.1066^{\circ}$

לפיכך: $\measuredangle COB=180^{\circ}-\measuredangle AOC=100.8933^{\circ}$ .

ולכן, שוב לפי משפט הסינוסים, ובשימוש בערכים מקורבים של הזוויות:

$\frac{BC}{\sin _{\measuredangle BOC} }=\frac{8\sqrt{7}}{\sin _{\measuredangle OBC}}$ , מקבלים: $BC=32.63$ בקירוב.

שימו לב:

אם נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש ABC נקבל: $BC^2=24^2+(8\sqrt{7}+8)^2-48(8\sqrt{7}+8)\cdot \cos 60^{\circ}$

כלומר: $BC=26.95$ הכיצד???

הנחיה

- קראו בעיון את הפתרונות המוצעים.

- השלימו בכל מקום בו חסר הסבר, או פתרון לא שלם.

- בחנו את הנתונים בהם משתמשים בכל הפעלה של משפט.

- כיצד התקבלו שתי אפשרויות?

- אולי יש יותר ממשולש אחד? הייתכן?

- בדקו שוב: במשולש AOC: מהם הגדלים הידועים בתחילת סעיף ב? כמה משולשים שונים כאלה קיימים?

- באילו נתונים משתמשים בהפעלת משפט הסינוסים? כיצד אפשר לבחור בפתרון הנכון?

- הפעילו את משפט הסינוסים במשולש לפי AOC: AO ו-AC . האם גם כעת יתקבלו שני פתרונות שהבחירה ביניהם תהיה לא ברורה? הסבירו.

- נתחו: כיצד הפעלת משפט הקוסינוסים במשולש ABC פותרת את הבעיה באופן ישיר ומיידי? כיצד כדאי לבחור באופן בטוח את הדרך לפתרון?