כרטיס 2 - מדרגה 2 (תלמיד)

לתלמיד (ישן)‏ > ‏סינוסים או קוסינוסים - בעיות מורכבות - צ.צ.ז. ומכשלות - מבנה המשימה‏ > ‏כרטיס 2 - קריאת פתרון (תלמיד)‏ > ‏

כרטיס 2 - מדרגה 2 (תלמיד)

לפניכם שני פתרונות שונים לשאלה. בדקו אותם והחליטו – איזהו הפתרון הנכון?

פתרון א:

נסמן: $EB=x$ , נקבל: $EB=EC=x$ , $AB=DC=2x$

נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש ABE: $AE^2=x^2+4x^2-2\cdot x\cdot 2x\cdot \cos \alpha$

נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש DCE: $DE^2=x^2+4x^2-2\cdot x\cdot 2x\cdot \cos(180^{\circ}- \alpha )=x^2+4x^2+2\cdot x\cdot 2x\cdot \cos\alpha$

נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש AED: $4x^2=10x^2-2AE\cdot DE\cdot \cos \beta$

$\cos \beta=\frac{3x^2}{AE\cdot DE}$

$AE^2\cdot DE^2=(5x^2-4x^2\cdot \cos \alpha )(5x^2+4x^2\cdot \cos \alpha )=25x^2-16x^2\cos^2 \alpha$

ולכן מקבלים את הדרוש: $\cos \beta =\frac{3}{\sqrt{(25-16\cos ^2\alpha )}}$

בשל כך, כשנמשיך לסעיף ב, נוכל להשתמש במשפט הסינוסים עבור משולש AED : $\frac{DE}{\sin _{\measuredangle DAE}}=\frac{2x}{\sin \beta }$

בשימוש במחשבון מקבלים: $\cos\beta =0.79433$ , $DE=2.87x$

ומכאן: $\sin _{\measuredangle DAE}=0.60748\cdot 2.87/2$

ולכן: $\measuredangle DAE=60.9073^{\circ}$ , כיון שבין הצלעות AD ו-DE מתקיים הקשר: DE>AD וכך גם הקשר בין הזוויות שמולן, הרי שזהו פתרון מתאים.

פתרון ב:

פותרים כמו קודם את סעיף א, אך את סעיף ב פותרים באמצעות משפט הקוסינוסים, מקבלים:

$DE^2=AD^2+AE^2-2AD\cdot AE\cdot \cos _{\measuredangle DAE}$

$5x^2+4x^2\cdot \cos 35^{\circ}=$ $=4x^2+5x^2-4x^2\cdot \cos 35^{\circ}-2\cdot 2x\sqrt{(5x^2-4x^2\cdot \cos 35^{\circ})}\cdot \cos _{\measuredangle DAE}$

$\cos _{\measuredangle DAE}=\frac{4-8\cdot \cos 35^{\circ}}{4\sqrt{(5-4\cdot\cos 35^{\circ} )}}=-0.48622$

ומכאן: $\measuredangle DAE=119.0926^{\circ}$

הכיצד??? איזהו הפתרון הנכון לדעתכם?

הנחיה

קראו בעיון את הפתרונות המוצעים.

בחנו את הנתונים בהם משתמשים בכל הפעלה של משפט.

כיצד התקבלו שתי אפשרויות? אולי בכל זאת יש יותר ממעוין אחד? הייתכן?

בדקו שוב: איזו צלע גדולה יותר ? ? ?

מה יכול לקרות כאשר מפעילים את משפט הסינוסים לפי נתונים מסוג צ.צ.ז. מול הקטנה בין השתים?

הפעילו את משפט הסינוסים באותו משולש עם AE ו-AD, כדי למצוא את הזווית ADE. השתמשו בסכום הזוויות במשולש כדי לקבל את הזווית ADE. מה קיבלתם? הסבירו את ההבדלים בין הדרכים השונות לפתרון.