כרטיס 2 - מדרגה 3 (תלמיד)

לתלמיד (ישן)‏ > ‏סינוסים או קוסינוסים - בעיות מורכבות - צ.צ.ז. ומכשלות - מבנה המשימה‏ > ‏כרטיס 2 - קריאת פתרון (תלמיד)‏ > ‏

כרטיס 2 - מדרגה 3 (תלמיד)

לפניכם שני פתרונות שונים לשאלה. בדקו אותם והחליטו – איזהו הפתרון הנכון?

פתרון א:

נסמן: $EB=x$ , נקבל: $EB=EC=x$ , $AB=DC=2x$

נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש ABE: $AE^2=x^2+4x^2-2\cdot x\cdot 2x\cdot \cos \alpha$

נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש DCE: $DE^2=x^2+4x^2-2\cdot x\cdot 2x\cdot \cos(180^{\circ}- \alpha )=x^2+4x^2+2\cdot x\cdot 2x\cdot \cos\alpha$

נפעיל את משפט הקוסינוסים במשולש AED: $4x^2=10x^2-2AE\cdot DE\cdot \cos \beta$

$\cos \beta=\frac{3x^2}{AE\cdot DE}$

$AE^2\cdot DE^2=(5x^2-4x^2\cdot \cos \alpha )(5x^2+4x^2\cdot \cos \alpha )=25x^2-16x^2\cos^2 \alpha$

ולכן מקבלים את הדרוש: $\cos \beta =\frac{3}{\sqrt{(25-16\cos ^2\alpha )}}$

בשל כך, כשנמשיך לסעיף ב, נוכל להשתמש במשפט הסינוסים עבור משולש AED : $\frac{DE}{\sin _{\measuredangle DAE}}=\frac{2x}{\sin \beta }$

בשימוש במחשבון מקבלים: $\cos\beta =0.79433$ , $DE=2.87x$

ומכאן: $\sin _{\measuredangle DAE}=0.60748\cdot 2.87/2$

ולכן: $\measuredangle DAE=60.9073^{\circ}$ , כיון שבין הצלעות AD ו-DE מתקיים הקשר: DE>AD וכך גם הקשר בין הזוויות שמולן, הרי שזהו פתרון מתאים.

פתרון ב:

פותרים כמו קודם את סעיף א, אך את סעיף ב פותרים באמצעות משפט הקוסינוסים, מקבלים:

$DE^2=AD^2+AE^2-2AD\cdot AE\cdot \cos _{\measuredangle DAE}$

$5x^2+4x^2\cdot \cos 35^{\circ}=$ $=4x^2+5x^2-4x^2\cdot \cos 35^{\circ}-2\cdot 2x\sqrt{(5x^2-4x^2\cdot \cos 35^{\circ})}\cdot \cos _{\measuredangle DAE}$

$\cos _{\measuredangle DAE}=\frac{4-8\cdot \cos 35^{\circ}}{4\sqrt{(5-4\cdot\cos 35^{\circ} )}}=-0.48622$

ומכאן: $\measuredangle DAE=119.0926^{\circ}$

הכיצד??? איזהו הפתרון הנכון לדעתכם?

הנחיה

פתרו את הבעיה. סמנו את צלע המעוין ב-2x.

הפעילו את משפט הקוסינוסים שלוש פעמים .

בסעיף ב הפעילו שוב את אחד המשפטים במשולש AED.

הקפידו על פתרון מדויק של המשוואות הטריגונומטריות – קודם פתרון כללי ורק לאחר מכן פתרון פרטי בתחום המתאים לבעיה. לחילופין – הסבירו באיזה תחום תחפשו את הפתרון לפי משפטים גיאומטריים רלוונטיים.

(משפטי חפיפה, או: במשולש מול צלע ארוכה מונחת זווית גדולה ולהיפך)