כרטיס מטרה א' - מדרגה 3 (תלמיד)

חקירת פונקציות מהמשפחות: $f(x)=\frac{x-2}{x^2-bx-8}$ , $g(x)=\frac{x-2}{x^2-bx+4}$ , b פרמטר.

מצאו במשפחות הנתונות, במידת האפשר, בהתאם לערכים שונים של הפרמטר, פונקציות אשר:

- בעלות שתי אסימפטוטות מאונכות לציר x.

- בעלות אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.

- ללא אסימפטוטה אנכית כלל.

- ללא נקודת חיתוך עם ציר ה-x.

- השלימו חקירה עד לקבלת סקיצה לגרף עבור $f(x)=\frac{x-2}{x^2-bx-8}$ במקרים הבאים: $b=-7, b=2$ .

- השלימו חקירה עד לקבלת סקיצה לגרף עבור $g(x)=\frac{x-2}{x^2-bx+4}$ במקרים הבאים: $b=0, b=-4, b=5$ .

- מה תוכלו לומר על מספר נקודות הפיתול, בכל אחד מהמקרים הנ"ל, ללא נגזרת שניה?

בחקירתכם: תוכלו להיעזר במחולל גרפים. הקפידו לוודא האם כל חלקי הגרף מופיעים על המסך.

הנחיות מפורטות

א. חקרו ושרטטו סקיצות אפשריות לפונקציות הבאות: $f(x)=\frac{x-2}{x^2-7x+4}$ , $g(x)=\frac{x-2}{x^2+4x+4}$ .

ב. אפיינו כל אחת מהפונקציות מבחינת: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות מקבילות לצירים.

ג. הביטו במשפחה $f(x)=\frac{x-2}{x^2-bx-8}$ וענו על השאלות:

(1) האם ניתן למצוא ערך לפרמטר כך שהמכנה לא יתאפס?

(2) האם ניתן בכל זאת למצוא ערך לפרמטר, כך שתהיה רק אסימפטוטה אנכית אחת? (היזכרו גם בקשר של המונה והמכנה)

בידקו תשובתכם ביישומון – שנו את ערך הפרמטר ובידקו השפעת השינוי על הגרף.

ד. הביטו במשפחה: $g(x)=\frac{x-2}{x^2-bx+4}$ , וענו על השאלות:

(3) האם ניתן למצוא ערך של הפרמטר כך שהמכנה לא יתאפס? שרטטו גרף של פונקציה במקרה כזה.

(4) האם ניתן למצוא ערך של הפרמטר כך שהמונה והמכנה יתאפסו יחד? כיצד ייראה הגרף של הפונקציה במקרה כזה?

בדקו תשובותיכם באמצעות היישומון.