סינוסים או קוסינוסים - מעוין אחד, הרבה שאלות - קריאת פתרון לכרטיס פתיחה - בעיה מבגרות - מדרגה 3

לפניכם פתרונות לשאלה שבכרטיס הפתיחה, שנכתבו על ידי שני תלמידים בבחינה. הציון שקיבלו: 85.

פתרון א:

א. לפי משפט הקוסינוסים במשולש FBC, נקבל: $FC^2=FB^2+CB^2-2FB\cdot CF\cdot \cos _{\measuredangle FBC}$

נסמן את צלע המעוין ב-3x, נקבל: $FC^2=(2x)^2+(3x)^2-2\cdot 2x\cdot 3x\cdot (-0.5)=19x^2\rightarrow FC=\sqrt{19}x$

נפעיל את משפט הסינוסים במשולש FBC ונקבל: $\frac{FB}{\sin _{\measuredangle FCB}}=\frac{FC}{\sin 60^{\circ}}$

$\frac{2}{\sin _{\measuredangle FCB}}=\frac{\sqrt{19}x}{\sin 60^{\circ}}$

$\sin _{\measuredangle FCB}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\rightarrow \measuredangle FCB\approx 23.41^{\circ}$

ב. לפי משפט הקוסינוסים במשולש ABC נקבל: $AC^2=AB^2+CB^2-2AB\cdot CB\cdot \cos _{\measuredangle ABC}$

כלומר: $b^2=(3x)^2+(3x)^2-2\cdot 3x\cdot 3x\cdot (-0.5)=27x^2\rightarrow b=3\sqrt{3}x$

לכן: $x=\frac{b\sqrt{3}}{9}$ ומכאן, היקף המרובע AECF הוא: $2x+2\cdot \sqrt{19}x=2(1+\sqrt{19})\cdot \frac{b\sqrt{3}}{9}$ .

פתרון ב:

א. לפי משפט הקוסינוסים במשולש FBC, נקבל: $FC^2=FB^2+CB^2-2FB\cdot CF\cdot \cos _{\measuredangle FBC}$

נסמן את צלע המעוין ב-3x, נקבל: $FC^2=(2x)^2+(3x)^2-2\cdot 2x\cdot 3x\cdot (-0.5)=19x^2\rightarrow FC=\sqrt{19}x$

נפעיל את משפט הקוסינוסים בשנית: $FB^2=FC^2+BC^2-2\cdot FC\cdot FB\cdot \cos _{\measuredangle FCB}$

נקבל: $(2x)^2=(\sqrt{19}x)^2+(3x)^2-2\cdot \sqrt{19}x\cdot 3x\cdot \cos _{\measuredangle FCB}$

כלומר: $\cos _{\measuredangle FCB}=\frac{4}{\sqrt{19}}$ ולכן: $\measuredangle FCB\approx 23.41^{\circ}$ ,

ב. כמו בפתרון א.

הנחיה

בדקו את הפתרון של המשוואות הטריגונומטריות – יש להקפיד על פתרון כללי לכל משוואה טריגונומטרית, קודם שמספקים פתרון בתחום המתאים לבעיה.

כמה פתרונות יש למשוואה מסוג: sin(x)=a ? cos(x)=a ? ובתחום בו נמצאות זוויות של משולשים?

הציעו יותר מדרך אחת לתקן את הפתרון: פעם אחת באמצעות פתרון טריגונומטרי כללי ובחינת כמקרים האפשריים עבור זוויות משולש, תוך שימוש בסכום זוויות במשולש, ופעם אחת על ידי פסילת אחד הפתרונות מראש, לפי יחס הסדר הנכון בין הצלעות מול הזוויות.