סינוסים או קוסינוסים - מעוין אחד, הרבה שאלות - קריאת פתרון לכרטיס פתיחה - בעיה מבגרות - מדרגה 1

לפניכם פתרונות לשאלה שבכרטיס הפתיחה, שנכתבו על ידי שני תלמידים בבחינה. הציון שקיבלו: 85.

פתרון א:

א. לפי משפט הקוסינוסים במשולש FBC, נקבל: $FC^2=FB^2+CB^2-2FB\cdot CF\cdot \cos _{\measuredangle FBC}$

נסמן את צלע המעוין ב-3x, נקבל: $FC^2=(2x)^2+(3x)^2-2\cdot 2x\cdot 3x\cdot (-0.5)=19x^2\rightarrow FC=\sqrt{19}x$

נפעיל את משפט הסינוסים במשולש FBC ונקבל: $\frac{FB}{\sin _{\measuredangle FCB}}=\frac{FC}{\sin 60^{\circ}}$

$\frac{2}{\sin _{\measuredangle FCB}}=\frac{\sqrt{19}x}{\sin 60^{\circ}}$

$\sin _{\measuredangle FCB}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\rightarrow \measuredangle FCB\approx 23.41^{\circ}$

ב. לפי משפט הקוסינוסים במשולש ABC נקבל: $AC^2=AB^2+CB^2-2AB\cdot CB\cdot \cos _{\measuredangle ABC}$

כלומר: $b^2=(3x)^2+(3x)^2-2\cdot 3x\cdot 3x\cdot (-0.5)=27x^2\rightarrow b=3\sqrt{3}x$

לכן: $x=\frac{b\sqrt{3}}{9}$ ומכאן, היקף המרובע AECF הוא: $2x+2\cdot \sqrt{19}x=2(1+\sqrt{19})\cdot \frac{b\sqrt{3}}{9}$ .

פתרון ב:

א. לפי משפט הקוסינוסים במשולש FBC, נקבל: $FC^2=FB^2+CB^2-2FB\cdot CF\cdot \cos _{\measuredangle FBC}$

נסמן את צלע המעוין ב-3x, נקבל: $FC^2=(2x)^2+(3x)^2-2\cdot 2x\cdot 3x\cdot (-0.5)=19x^2\rightarrow FC=\sqrt{19}x$

נפעיל את משפט הקוסינוסים בשנית: $FB^2=FC^2+BC^2-2\cdot FC\cdot FB\cdot \cos _{\measuredangle FCB}$

נקבל: $(2x)^2=(\sqrt{19}x)^2+(3x)^2-2\cdot \sqrt{19}x\cdot 3x\cdot \cos _{\measuredangle FCB}$

כלומר: $\cos _{\measuredangle FCB}=\frac{4}{\sqrt{19}}$ ולכן: $\measuredangle FCB\approx 23.41^{\circ}$ ,

ב. כמו בפתרון א.