מנת חזקות של בינומים - כיצד זה נראה? - מדרגה 3

לתלמיד (ישן)‏ > ‏מנת חזקות של בינומים - כיצד זה נראה? - מבנה המשימה‏ > ‏

מנת חזקות של בינומים - כיצד זה נראה? - מדרגה 3

לפניכם גרפים של פונקציות ורשימה של פונקציות מהמשפחה: $f(x)=\frac{(x-a)^n}{(x-b)^m}$ , m , n טבעיים גדולים מ-1.

א. התאימו בין הגרפים לפונקציות.

שימו ♥: ייתכן שגרף אחד יתאים לביטויים אחדים. ייתכן שלא יהיה ביטוי מתאים לגרף וייתכן שיחסר ביטוי לגרף.
במקרים אלה: הוסיפו סקיצות עבור הביטויים שלא מצאתם עבורם התאמה, והוסיפו ביטוי עבור גרף שלא נמצאה עבורו התאמה.

ב. אפיינו את הפונקציות במשפחה בהתאם לערכים של הפרמטרים. תנו דעתכם על היחס בין a ל-b (מי גדול ממי, או שווה), הזוגיות של m ,n, והיחס ביניהם, והשפעה של אלה על תכונות הפונקציות.

גרף א	גרף ב	$f_1(x)=\frac{(x-1)^4}{(x+1)^4}$ $f_3(x)=\frac{(x+1)^2}{(x+3)^3}$	$f_2(x)=\frac{(x-2)^3}{(x-3)^2}$ $f_4(x)=\frac{(x+4)^4}{(x+2)^5}$
גרף ג	גרף ד	$f_5(x)=\frac{(x+1)^2}{(x+2)^3}$ $f_7(x)=\frac{(x-4)^4}{(x+1)^2}$	$f_6(x)=\frac{(x+1)^2}{(x+2)^2}$ $f_8(x)=\frac{(x+3)^2}{(x+2)^4}$
גרף ה	גרף ו	$f_9(x)=\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2}$ $f_1_1(x)=\frac{(x+2)^5}{(x-1)^3}$	$f_1_0(x)=\frac{(x+2)^3}{(x-2)^2}$ $f_1_2(x)=\frac{(x)^2}{(x-1)^2}$
גרף ז	גרף ח	$f_1_3(x)=\frac{(x+1)^3}{(x+2)^2}$ $f_1_5(x)=\frac{(x-3)^7}{(x-1)^2}$	$f_1_4(x)=\frac{(x-3)^6}{(x-1)^2}$ $f_1_6(x)=\frac{(x-3)^5}{(x-1)^2}$

הנחיות

א. עבור הפונקציות הבאות:

$f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}$ , $g(x)=\frac{(x-1)^2}{(x-2)^3}$ , $h(x)=\frac{(x-1)^2}{(x-2)^4}$

(1) שרטטו את הגרפים באמצעות היישומון.

(2) רשמו תכונות משותפות ותכונות מבדילות.

(3) בצעו חקירה אנליטית-אלגברית ואשרו ממצאיכם באמצעות חישובים.

ב. חזרו על הפעולות שלעיל גם עבור הפונקציות הבאות:

$f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}$ , $k(x)=\frac{(x-1)^3}{(x-2)^2}$ , $m(x)=\frac{(x-1)^4}{(x-2)^2}$

ג. עבור הפונקציות הבאות:

$n(x)=\frac{(x-1)^5}{(x-2)^3}$ , $t(x)=\frac{(x-1)^5}{(x-2)^5}$ , $s(x)=\frac{(x-1)^6}{(x-2)^3}$ , $r(x)=\frac{(x-1)^3}{(x-2)^6}$

(1) הציעו גרפים מתאימים, בהסתמך על מסקנות מסעיפים קודמים והכללות שלהן.

(2) בדקו הצעותיכם באמצעות היישומון.

(3) בצעו חקירה אנליטית-אלגברית ואשרו ממצאיכם באמצעות חישובים.

ד. שנו, כרצונכם, ערכים נוספים בפונקציות מהמשפחה: $f(x)=\frac{(x-a)^n}{(x-b)^m}$ , הציעו גרפים ובידקו השערותיכם.

ה. נסחו מסקנות בהתאם למקרים שבטבלאות הבאות.

תנו דעתכם על השאלות הבאות:

מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים?

מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים?

כיצד מתנהג הגרף משני צידי האסימפטוטה האנכית? האם יש שינוי בין תחום חיוביות לתחום שליליות? האם יש שינוי מגמה (עליה לעומת ירידה?)

מהם תחומי העליה והירידה של הפונקציה?

מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?

המספר המינימלי של נקודות הפיתול ומיקומן ביחס לנקודות החיתוך עם הצירים והאסימפטוטות (ללא נגזרת שניה).

a>b	n זוגי, m זוגי	n אי-זוגי, m אי-זוגי	n אי-זוגי, m זוגי	n זוגי, m אי-זוגי
n>m
n=m			----	----
n<m

a<b	n זוגי, m זוגי	n אי-זוגי, m אי-זוגי	n אי-זוגי, m זוגי	n זוגי, m אי-זוגי
n>m
n=m			----	----
n<m

a=b	n זוגי, m זוגי	n אי-זוגי, m אי-זוגי	n אי-זוגי, m זוגי	n זוגי, m אי-זוגי
n>m
n=m			----	----
n<m

ו. פתרו את המשימה שבכרטיס המטרה.

ישומון