מציאת יחס חלוקה – יחידות ההצגה של ווקטורים - כרטיס מטרה - מדרגה 2

לתלמיד (ישן)‏ > ‏מציאת יחס חלוקה – יחידות ההצגה של ווקטורים - מבנה המשימה‏ > ‏

מציאת יחס חלוקה – יחידות ההצגה של ווקטורים - כרטיס מטרה - מדרגה 2

לפני פתרון בעיית המטרה, פתרו את הבעיה הבאה:

קטעים נחתכים בטרפז

בטרפז ABCD, $AD\parallel BC$ , הקטעים AC, ו-BE נחתכים בנקודה F.

ומתקיים:

$\overrightarrow{AD}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{BA}=\underline{v}$ , $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{5}\overrightarrow{DC}$ .

מצאו, באמצעות חשבון ווקטורים,

(1) את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטע AC : $\frac{AF}{FC}$

(2) את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטע BE : $\frac{BF}{FE}$

העזרו בסימונים הבאים: $\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BE}$ , $\overrightarrow{AF}=m\overrightarrow{AC}$ .

הנחיות

(1) בטאו את $\overrightarrow{BF}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו-t .

(2) בטאו את $\overrightarrow {AF}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו-m .

(3) בטאו את $\overrightarrow{BF}$ בשתי דרכים:

פעם אחת באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו-t . ופעם אחת באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו-m.

השוו את שתי ההצגות של $\overrightarrow{BF}$ והסיקו את יחס החלוקה.

חיזרו לכרטיס המטרה ופיתרו אותו:

כרטיס מטרה– תיכונים מוכללים בפירמידה משולשת

SABC היא פירמידה משולשת.

הנקודות D, E, F, G הן נקודות המפגש של התיכונים בפאות ABC, SAB, SAC, SBC בהתאמה.

הוכיחו כי כל ארבעת הקטעים: SD, CE, BF, AG

נחתכים בנקודה אחת,

ומצאו את היחס בו הם מחלקים זה את זה.

הנחיות

(1) סמנו: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$ .

(2) בטאו את $\overrightarrow{BF}$ ואת $\overrightarrow{CE}$ באמצעות $\underline{v}, \underline{u}$ ו-w.

נניח שהקטעים BF ו- CE נחתכים. נסמן את נקודת החיתוך ב-x.

נגדיר פרמטרים לתיאור יחס החלוקה שיוצרת נקודת החיתוך בכל אחד מהקטעים: $\overrightarrow{BX}=t\overrightarrow{BF}$ , $\overrightarrow {CX}=m\overrightarrow {CE}$

(3) בטאו את $\overrightarrow{BX}$ באמצעות $\underline{v}, \underline{u}$ ,w ו- t .

(4) בטאו את $\overrightarrow{BX}$ באמצעות $\underline{v}$ ,w ו- m .

(5) השוו את שתי ההצגות, ומצאו את יחס החלוקה.

(6) מהו יחס החלוקה בזוגות הקטעים האחרים? הסבירו.