פעולות על סדרות חשבוניות - מה נכון? - מדרגה 2

נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,a_3,a_4...$

הפרש הסדרה הוא $d$ .

נתונה סדרה חדשה: $a_1+a_2+a_3,a_4+a_5+a_6,a_7+a_8+a_9...$

האם הסדרה החדשה היא בהכרח חשבונית? נמקו תשובתכם.

לפניכם 3 הצעות לפתרון, בדקו את ההצעות וקבעו אם הן נכונות או לא. נמקו תשובתכם.

הצעה א'

$a_4+a_5+a_6-(a_1+a_2+a_3)=$

$a_1+3d+a_1+4d+a_1+5d-$

$(a_1+a_1+d+a_1+2d)=9d$

$a_7+a_8+a_9-(a_4+a_5+a_6)=$

כלומר:

$a_7+a_8+a_9-(a_4+a_5+a_6)=$

$a_4+a_5+a_6-(a_1+a_2+a_3)=9d$

לכן הסדרה החדשה חשבונית והפרשה $9d$ .

הצעה ב'

איבר כללי בסדרה החדשה הוא: $a_n+a_n_+_1+a_n_+_2$

איבר העוקב לו הוא: $a_n_+_3+a_n_+_4+a_n_+_5$

ההפרש ביניהם: $a_n_+_3+a_n_+_4+a_n_+_5-(a_n+a_{n+1}+a_{n+2})=$

$(a_{n+3}-a_{n})+(a_{n+4}-a_{n+1})+(a_{n+5}-a_{n+2})=$ $3\cdot 2d=6d$

לכן הסדרה החדשה חשבונית והפרשה $6d$ .

הצעה ג'

איבר כללי בסדרה החדשה הוא: $a_n+a_n_+_1+a_n_+_2$ $a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}$

לכן:

$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}=3a_{n+1}$

והאיבר העוקב בסדרה החדשה יהיה

$a_n_+_3+a_n_+_4+a_n_+_5=3a_n_+_4$

ההפרש ביניהם: $3(a_n_+_4-a_n_+_1)=3\cdot 3d=9d$

לכן הסדרה החדשה חשבונית והפרשה $9d$ .

הנחיות

בכל הצעה שימו לב לנקודות הבאות:

האם ההוכחה שהסדרה החדשה היא חשבונית היא הוכחה כללית הנכונה לכל איבר בסדרה החדשה?
האם בהוכחה מסתמכים על תכונות של הסדרה החשבונית המקורית? אם כן, על אילו תכונות מסתמכים?
האם ישנה טעות בשלב מסוים בהוכחה? אם כן, תקנו אותה.