פעולות על סדרות חשבוניות - מה נכון? - מדרגה 1

נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,a_3,a_4...$

הפרש הסדרה הוא $d$ .

נתונה סדרה חדשה: $a_1+a_2+a_3,a_4+a_5+a_6,a_7+a_8+a_9...$

האם הסדרה החדשה היא בהכרח חשבונית? נמקו תשובתכם.

לפניכם 3 הצעות לפתרון, בדקו את ההצעות וקבעו אם הן נכונות או לא. נמקו תשובתכם.

הצעה א'

$a_4+a_5+a_6-(a_1+a_2+a_3)=$

$a_1+3d+a_1+4d+a_1+5d-$

$(a_1+a_1+d+a_1+2d)=9d$

$a_7+a_8+a_9-(a_4+a_5+a_6)=$

כלומר:

$a_7+a_8+a_9-(a_4+a_5+a_6)=$

$a_4+a_5+a_6-(a_1+a_2+a_3)=9d$

לכן הסדרה החדשה חשבונית והפרשה $9d$ .

הצעה ב'

איבר כללי בסדרה החדשה הוא: $a_n+a_n_+_1+a_n_+_2$

איבר העוקב לו הוא: $a_n_+_3+a_n_+_4+a_n_+_5$

ההפרש ביניהם: $a_n_+_3+a_n_+_4+a_n_+_5-(a_n+a_{n+1}+a_{n+2})=$

$(a_{n+3}-a_{n})+(a_{n+4}-a_{n+1})+(a_{n+5}-a_{n+2})=$ $3\cdot 2d=6d$

לכן הסדרה החדשה חשבונית והפרשה $6d$ .

הצעה ג'

איבר כללי בסדרה החדשה הוא: $a_n+a_n_+_1+a_n_+_2$ $a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}$

לכן:

$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}=3a_{n+1}$

והאיבר העוקב בסדרה החדשה יהיה

$a_n_+_3+a_n_+_4+a_n_+_5=3a_n_+_4$

ההפרש ביניהם: $3(a_n_+_4-a_n_+_1)=3\cdot 3d=9d$

לכן הסדרה החדשה חשבונית והפרשה $9d$ .

הנחיות

בכל הצעה להוכחה שימו לב לנקודות הבאות:

· על אילו תכונות של סדרה חשבונית ההוכחה מסתמכת?

· האם ההוכחה היא כללית?

· האם ישנה טעות בהוכחה?