פעולות על סדרות חשבוניות - כרטיס מטרה ב' - האם ההשערה נכונה? - מדרגה 3


כרטיס מטרה

נתונה סדרה חשבונית:  שהפרשה הוא ,

נתונה סדרה חשבונית נוספת:  שהפרשה הוא ,

ונתונה סדרה חדשה: 

האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית?


לפניכם השערתו של אייל:

על מנת לשער השערה האם הסדרה החדשה היא חשבונית, אייל בחר שתי סדרות חשבוניות ובדק את איברי הסדרה החדשה.

אייל בחר את שתי הסדרות החשבוניות הבאות: 

סדרה  ראשונה:           7, 4, 1, -2, -5, … 

סדרה שניה :        2, 5, 8, 11, 14, ….

הסדרה החדשה: 

כלומר התקבלה הסדרה: 45,  -9,  -63,  -117,  -171  …

וזו סדרה חשבונית שהפרשה  -54     .

לכן  ההשערה של אייל  היא שהסדרה  החדשה :   ,היא סדרה חשבונית.

ענו על השאלות הבאות:

א. האם ההשערה של אייל נכונה? האם ניתן להוכיח שלכל שתי סדרות חשבוניות  ,

הסדרה החדשה:       בהכרח חשבונית?  נמקו תשובתכם.

ב. הביאו דוגמא נוספת לשתי סדרות חשבוניות נתונות כך שהסדרה החשבונית החדשה כן תהיה חשבונית.

ג. באילו מקרים מיוחדים הסדרה החדשה תהיה חשבונית? נמקו תשובתכם.


הנחיות

א. לפניכם שלושה מקרים פרטיים של זוגות של סדרות חשבוניות  ,

לכל זוג בדקו האם הסדרה החדשה היא סדרה חשבונית:
א1.
  •       1, 3, 5, 7….
  •       -4, -2, 0, 2, 4….
א2.
  •       2, 4, 6. 8….
  •       1, 3, 5, 7…
א3.
  •       2, 7, 12, 17…
  •       3, -2, -7, -12…
ב.  איזו השערה ניתן להעלות? 
באילו מקרים מיוחדים של זוגות של סדרות חשבוניות הסדרה החדשה היא סדרה חשבונית?
 
ג. לפניכם התחלת ההוכחה למקרים מיוחדים:

   

כדי להמשיך את ההוכחה שימו לב ל:
 
ומה הקשר ביניהם במקרים המיוחדים שמצאתם? (התייחסו לשני מקרים). 

המשיכו  את ההוכחה על ידי פרוק לגורמים  של הביטוי שהתקבל למעלה.