פעולות על סדרות חשבוניות - כרטיס מטרה ב' - האם ההשערה נכונה? - מדרגה 2

כרטיס מטרה

נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,a_3,a_4...$ שהפרשה הוא $d$ ,

נתונה סדרה חשבונית נוספת: $b_1,b_2,b_3,b_4...$ שהפרשה הוא $p$ ,

ונתונה סדרה חדשה: $(a_1)^2-(b_1)^2, (a_2)^2-(b_2)^2, (a_3)^2-(b_3)^2...$

האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית?

לפניכם השערתו של אייל:

על מנת לשער השערה האם הסדרה החדשה היא חשבונית, אייל בחר שתי סדרות חשבוניות ובדק את איברי הסדרה החדשה.

אייל בחר את שתי הסדרות החשבוניות הבאות:

סדרה ראשונה: 7, 4, 1, -2, -5, …

סדרה שניה : 2, 5, 8, 11, 14, ….

הסדרה החדשה: $7^2-2^2,4^2-5^2,1^2-8^2,(-2)^2-11^2,(-5)^2-14^2...$

כלומר התקבלה הסדרה: 45, -9, -63, -117, -171 …

וזו סדרה חשבונית שהפרשה -54 .

לכן ההשערה של אייל היא שהסדרה החדשה : $(a_1)^2-(b_1)^2, (a_2)^2-(b_2)^2, (a_3)^2-(b_3)^2...$ ,היא סדרה חשבונית.

ענו על השאלות הבאות:

א. האם ההשערה של אייל נכונה? האם ניתן להוכיח שלכל שתי סדרות חשבוניות $(a_n , b_n)$ ,

הסדרה החדשה: $a_1^2-b_1^2,a_2^2-b_2^2,a_3^2-b_3^2,a_4^2-b_4^2,...$ בהכרח חשבונית? נמקו תשובתכם.

ב. הביאו דוגמא נוספת לשתי סדרות חשבוניות נתונות כך שהסדרה החשבונית החדשה כן תהיה חשבונית.

ג. באילו מקרים מיוחדים הסדרה החדשה תהיה חשבונית? נמקו תשובתכם.

הנחיות

א. בחרו שתי סדרות חשבוניות אחרות, שונות מאלו שבחר אייל, ובדקו האם הסדרה החדשה שמתקבלת היא חשבונית .

ב. שימו לב מה מיוחד בסדרות שבחר אייל, כך שהסדרה החדשה שהתקבלה היא גם חשבונית.

האם יכולים להיות עוד מקרים מיוחדים?

ג. לפניכם התחלת ההוכחה למקרים מיוחדים:

$(a_{m+1})^2-(b_{m+1})^2 - ((a_m)^2-(b_m)^2) =$

$(a_{m+1}-a_m)(a_{m+1}+a_m)-(b_{m+1}-b_m)(b_{m+1}+b_m)=...$

מה צריך להתקיים כדי שאפשר יהיה להמשיך ולפרק לגורמים ולהוציא גורם משותף מהביטוי שהתקבל ? (התייחסו לשני מקרים אפשריים ).
המשיכו את ההוכחה....