פעולות על סדרות חשבוניות - כרטיס מטרה ב' - האם ההשערה נכונה? - מדרגה 1

כרטיס מטרה

נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,a_3,a_4...$ שהפרשה הוא $d$ ,

נתונה סדרה חשבונית נוספת: $b_1,b_2,b_3,b_4...$ שהפרשה הוא $p$ ,

ונתונה סדרה חדשה: $(a_1)^2-(b_1)^2, (a_2)^2-(b_2)^2, (a_3)^2-(b_3)^2...$

האם הסדרה החדשה היא בהכרח סדרה חשבונית?

לפניכם השערתו של אייל:

על מנת לשער השערה האם הסדרה החדשה היא חשבונית, אייל בחר שתי סדרות חשבוניות ובדק את איברי הסדרה החדשה.

אייל בחר את שתי הסדרות החשבוניות הבאות:

סדרה ראשונה: 7, 4, 1, -2, -5, …

סדרה שניה : 2, 5, 8, 11, 14, ….

הסדרה החדשה: $7^2-2^2,4^2-5^2,1^2-8^2,(-2)^2-11^2,(-5)^2-14^2...$

כלומר התקבלה הסדרה: 45, -9, -63, -117, -171 …

וזו סדרה חשבונית שהפרשה -54 .

לכן ההשערה של אייל היא שהסדרה החדשה : $(a_1)^2-(b_1)^2, (a_2)^2-(b_2)^2, (a_3)^2-(b_3)^2...$ ,היא סדרה חשבונית.

ענו על השאלות הבאות:

א. האם ההשערה של אייל נכונה? האם ניתן להוכיח שלכל שתי סדרות חשבוניות $(a_n , b_n)$ ,

הסדרה החדשה: $a_1^2-b_1^2,a_2^2-b_2^2,a_3^2-b_3^2,a_4^2-b_4^2,...$ בהכרח חשבונית? נמקו תשובתכם.

ב. הביאו דוגמא נוספת לשתי סדרות חשבוניות נתונות כך שהסדרה החשבונית החדשה כן תהיה חשבונית.

ג. באילו מקרים מיוחדים הסדרה החדשה תהיה חשבונית? נמקו תשובתכם.

הנחיות

· שימו לב מה מיוחד בסדרות שבחר אייל , כך שהסדרה החדשה שהתקבלה היא גם חשבונית.

· האם יכולים להיות עוד מקרים מיוחדים?

· לפניכם התחלת ההוכחה למקרים מיוחדים , המשיכו אותה:

$(a_{m+1})^2-(b_{m+1})^2 - ((a_m)^2-(b_m)^2) =$
$(a_{m+1}-a_m)(a_{m+1}+a_m)-(b_{m+1}-b_m)(b_{m+1}+b_m)=...$