מפגש התיכונים במשולש - מדרגה 2 (תלמיד)

במשולש ABC, הקטעים AD, ו-BE הם תיכונים.

הסבירו מדוע התיכונים בהכרח נחתכים ומצאו, באמצעות חשבון ווקטורים,

את יחסי החלוקה: $\frac{BF}{BE}$ ו- $\frac{AF}{AD}$ .

שימו לב: המשולש הוא גוף מישורי, על כן נוכל לבטא כל צלע בו באמצעות שני ווקטורים שאינם כפל בסקלר האחד של האחר.

לכן, היעזרו בסימונים הבאים:

$\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{BC}=\underline{v}$ .

כדי לבטא את היחס, השתמשו בכפל בסקלר והגדירו:

$\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BE}$ , $\overrightarrow{AF}=m\overrightarrow{AD}$ .

הנחיות

(1) בטאו את $\overrightarrow{BE}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ .

(2) בטאו את $\overrightarrow{BF}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו-t .

(3) בטאו את $\overrightarrow{AD}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ .

(4) בטאו את $\overrightarrow{BF}$ בשתי דרכים:

פעם אחת באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו-t . ופעם אחת באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו-m.

(5) השוו את שתי ההצגות של $\overrightarrow{BF}$ והסיקו את יחס החלוקה.