כרטיס מטרה - מצב הדדי בין המרכזים ומרחק ביניהם - מדרגה 1 (תלמיד)

נתון משולש ABC שהוא שווה שוקיים (AB=AC) ו-BC=a, זווית הבסיס של המשולש היא $\alpha$ .

O הוא מרכז המעגל החוסם את משולש ABC ו- M מרכז המעגל החסום במשולש ABC.

א. מצא מה הן:

א1. האפשרויות השונות למיקום שני המרכזים ביחס למשולש.

א2. האפשרויות השונות למיקום ההדדי של שני המרכזיםביחס לקודקוד הראש של המשולש.

ב. עבור כל אחת מהאפשרויות שמצאתם מצאו מה התחום המתאים של הזווית $\alpha$ . נמקו תשובתכם .

לאחר שעניתם על סעיפים א-ב , בדקו תשובתכם בעזרת הישומון המצורף.

ג. עבור כל אחת מהאפשרויות שמצאתם בטאו בעזרת a ו- $\alpha$ את המרחק בין מרכז המעגל החוסם את המשולש לבין מרכז החסום בו.

ד1. הוכיחו כי:

$OM=\frac{a}{2}\left ( \frac{\cos (1.5\alpha )}{\sin (2\alpha)\cos (0.5\alpha ) } \right )$

או

$OM=\frac{a}{2}\left ( \frac{-\cos (1.5\alpha )}{\sin (2\alpha)\cos (0.5\alpha ) } \right )$

ד2. עבור אילו ערכי $\alpha$ כל אחד מהביטויים בסעיף ד1 נכון? נמקו תשובתכם.