נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - משפט צ'בה - כרטיס מטרה - מדרגה 1

לתלמיד (ישן)‏ > ‏נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - מבנה המשימה‏ > ‏

נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - משפט צ'בה - כרטיס מטרה - מדרגה 1

כרטיס מטרה (למסיימי מדרגה 1 בלבד)

אם במשולש שלושה קטעים שיוצאים מהקדקודים אל הצלעות שמולם, נחתכים בנקודה אחת, אזי מכפלת היחסים שבין האורכים של הקטעים שנוצרים על כל אחת מהצלעות שווה ל-1,

כלומר:

אם במשולש ABC הקטעים AD, BE, CF נחתכים בנקודה O אזי: $\frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{AE}=1$

הנחיה

1. הסבירו מדוע: $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ODC}}=\frac{BD}{DC}$

2. הצדיקו לעצמכם כי לכל ארבעה מספרים עבורם הביטויים מוגדרים: $\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

3. הסבירו מדוע: $\frac{S{_{\triangle ABD}}-S{_{\triangle OBD}}}{S{_{\triangle ADC}}-S{_{\triangle ODC}}}=\frac{BD}{DC}$

4. הסיקו: $\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle ACO}}=\frac{BD}{DC}$

5. באופן דומה הסיקו: $\frac{S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}}=\frac{CE}{AE}$

$\frac{S_{\triangle ACO}}{S_{\triangle BCO}}=\frac{AF}{FB}$

בצעו את ההכפלה כעת והסיקו את הדרוש.

ישומון