נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - הכללה: חותכים דמויי תיכונים - כרטיס מטרה - מדרגה 3

לתלמיד (ישן)‏ > ‏נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - מבנה המשימה‏ > ‏

נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - הכללה: חותכים דמויי תיכונים - כרטיס מטרה - מדרגה 3

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: $BE/BC=1/n$

הנקודה D מחלקת את הצלע AB כך: $BD/BA=1/n$

הקטעים CD ו - AE נחתכים בנקודה F.

א. בטאו באמצעות n את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

ב. הוכיחו כי הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.

ג. הסיקו מהנ"ל כי: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת ונקודה זו מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 , כך שהחלק הארוך קרוב לקדקוד.

לפניכם 4 בעיות שתומכות בפתרון הבעיה שבכרטיס המטרה:

בעיה 1 - נקודת מפגש התיכונים:

יש להוכיח

א. נקודת המפגש של כל שני תיכונים מחלקת כל אחד מהם ביחס 1:2, כך שהחלק הארוך קרוב לקדקוד.

ב. בכל משולש שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת.

היעזרו בהנחיות להלן:

1. הסבירו מדוע המשולשים בכל זוג מהבאים שווים בשטחם:

א. ABE ו- AEC

ב. ADF ו- DBF

ג. BFE ו- CFE

ד. BDC ו- ADC

2. סמנו: $S_B_D_F=S_1$ $S_B_F_E=S_2,$ .

השתמשו בתשובותיכם לסעיפים א-ג בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_1$ .

השתמשו בתשובתכם לסעיף ד בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_2$ .

3. הסבירו מדוע $AF:FE=2:1$ .

4. הסיקו את המשפט השלם בדבר מפגש התיכונים. סעיפים א, ב לעיל.

כעת נסו לחזור לכרטיס המטרה. אם נחוץ עברו לבעיה 2.

בעיה 2 - חותכים אחרים דמויי תיכונים (שלישונים):

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: $BE/BC=1/3$

הנקודה D מחלקת את הצלע AB כך: $BD/BA=1/3$

הקטעים CD ו - AE נחתכים בנקודה F.

א. מצא את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

ב. הוכח הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.

היעזרו בהנחיות להלן:

1. רשמו את היחס בין השטחים של המשולשים בזוגות הבאים:

א. ABE ו- AEC

ב. ADF ו- DBF

ג. BFE ו- CFE

ד. BDC ו- ADC

2. סמנו: $S_B_D_F=S_1$ $S_B_F_E=S_2,$ .

השתמשו בתשובותיכם לסעיפים א-ג בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_1$ .

השתמשו בתשובתכם לסעיף ד בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_2$ .

3. הסבירו מדוע $AF:FE=3:1$ .

4. ענו כעת על סעיפים א', ב'.

כעת נסו לחזור לכרטיס המטרה. אם נחוץ עברו לבעיה 3.

בעיה 3 - חותכים אחרים דמויי תיכונים (רביעונים):

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: $BE/BC=1/4$

הנקודה D מחלקת את הצלע AB כך: $BD/BA=1/4$ .

הקטעים CD ו - AE נחתכים בנקודה F.

א. מצא את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

ב. הוכח הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.

היעזרו בהנחיות להלן:

1. הסבירו מדוע המשולשים בכל זוג מהבאים שווים בשטחם:

א. ABE ו- AEC

ב. ADF ו- DBF

ג. BFE ו- CFE

ד. BDC ו- ADC

2. סמנו: $S_B_D_F=S_1$ $S_B_F_E=S_2,$ .

השתמשו בתשובותיכם לסעיפים א-ג בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_1$ .

השתמשו בתשובתכם לסעיף ד בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_2$ .

3. הסבירו מדוע $AF:FE=4:1$ .

4. ענו כעת על סעיפים א', ב'.

כעת נסו לחזור לכרטיס המטרה. אם נחוץ עברו לבעיה 4.

בעיה 4 - חותכים אחרים דמויי תיכונים (שישונים):

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: $BE/EC=1/6$

הנקודה D מחלקת את הצלע AB כך: $BD/DA=1/6$ .

הקטעים CD ו - AE נחתכים בנקודה F.

א. מצא את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

ב. הוכח הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.

היעזרו בהנחיות להלן:

1. הסבירו מדוע המשולשים בכל זוג מהבאים שווים בשטחם:

א. ABE ו- AEC

ב. ADF ו- DBF

ג. BFE ו- CFE

ד. BDC ו- ADC

2. סמנו: $S_B_D_F=S_1$ $S_B_F_E=S_2,$ .

השתמשו בתשובותיכם לסעיפים א-ג בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_1$ .

השתמשו בתשובתכם לסעיף ד בשלב 1 ובטאו את $S_A_F_C$ באמצעות $S_2$ .

3. הסבירו מדוע $AF:FE=6:1$ .

4. ענו כעת על סעיפים א', ב'.

כעת חזרו לכרטיס המטרה.

ישומון