נקודת מפגש התיכונים וחותכים אחרים - הכללה: חותכים דמויי תיכונים - כרטיס מטרה - מדרגה 2


כרטיס מטרה

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: 

הנקודה D מחלקת את הצלע AB  כך: 

הקטעים CD  ו - AE נחתכים בנקודה F.

    א. בטאו באמצעות n את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

    ב. הוכיחו כי הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.

    ג. הסיקו מהנ"ל כי: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת ונקודה זו מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 , כך שהחלק הארוך קרוב לקדקוד.







לפניכם 4 בעיות שתומכות בפתרון הבעיה שבכרטיס המטרה:

בעיה 1 - נקודת מפגש התיכונים:
יש להוכיח
א. נקודת המפגש של כל שני תיכונים מחלקת כל אחד מהם ביחס 1:2, כך שהחלק הארוך קרוב לקדקוד.
ב. בכל משולש שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת.

היעזרו בהנחיות להלן:

1. רשמו את היחסים בין השטחים של זוגות המשולשים הבאים:

ABE  ו- AEC

BDC  ו- ADC

ADF  ו- DBF

BFE  ו- CFE.

2. חשבו מהו היחס בין שטח המשולש AFC לבין שטח המשולש EFC.

3. הסיקו את המשפט השלם בדבר מפגש התיכונים.

כעת נסו לחזור לכרטיס המטרה. אם נחוץ עברו לבעיה 2.



בעיה 2 - חותכים אחרים דמויי תיכונים (שלישונים):

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: 

הנקודה D מחלקת את הצלע AB  כך: .

הקטעים CD  ו - AE נחתכים בנקודה F.

    א. מצא את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

    ב. הוכח הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.

היעזרו בהנחיות להלן:

1. רשמו את היחסים בין השטחים של זוגות המשולשים הבאים:

ABE  ו- AEC

BDC  ו- ADC

ADF  ו- DBF

BFE  ו- CFE.

2. חשבו מהו היחס בין שטח המשולש AFC לבין שטח המשולש EFC.

3. ענו כעת על סעיפים א, ב.

כעת נסו לחזור לכרטיס המטרה. אם נחוץ עברו לבעיה 3.



בעיה 3 - חותכים אחרים דמויי תיכונים (רביעונים):

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: 

הנקודה D מחלקת את הצלע AB  כך:  .

הקטעים CD  ו - AE נחתכים בנקודה F.

    א. מצא את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

    ב. הוכח הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.

היעזרו בהנחיות להלן:

1. רשמו את היחסים בין השטחים של זוגות המשולשים הבאים:

ABE  ו- AEC

BDC  ו- ADC

ADF  ו- DBF

BFE  ו- CFE.

2. חשבו מהו היחס בין שטח המשולש AFC לבין שטח המשולש EFC.

3. ענו כעת על סעיפים א, ב.

כעת נסו לחזור לכרטיס המטרה. אם נחוץ עברו לבעיה 4.



בעיה 4 - חותכים אחרים דמויי תיכונים (שישונים):

במשולש ABC הנקודה E מחלקת את הצלע BC כך: 

הנקודה D מחלקת את הצלע AB  כך: 

הקטעים CD  ו - AE נחתכים בנקודה F.

    א. מצא את היחס בו מחלקת הנקודה F את הקטעים AE ו- CD .

    ב. הוכח הנקודה F נמצאת על התיכון מהנקודה B במשולש ABC.


היעזרו בהנחיות להלן:

1. רשמו את היחסים בין השטחים של זוגות המשולשים הבאים:

ABE  ו- AEC

BDC  ו- ADC

ADF  ו- DBF

BFE  ו- CFE.

2. חשבו מהו היחס בין שטח המשולש AFC לבין שטח המשולש EFC.

3. ענו כעת על סעיפים א, ב.

כעת חזרו לכרטיס המטרה.