ישר ושתי נקודות - כמה פתרונות? - פתרון מודרך

לתלמיד (ישן)‏ > ‏ישר ושתי נקודות - כמה פתרונות? - מבנה המשימה‏ > ‏

ישר ושתי נקודות - כמה פתרונות? - פתרון מודרך

פתרו את הבעיה הבאה:

יש למצוא משוואות של ישרים שמקיימים את התנאים הבאים:

עוברים דרך נקודה נתונה ומרחקם מנקודה אחרת נתון.

1. מקרה א – עוברים דרך $E(-7,0)$ ומרחקם מהנקודה $F(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

(יש יותר מהפתרון המוצג בשרטוט)

1. מקרה ב – עוברים דרך $(5,16)$ ומרחקם מהנקודה $(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

חפשו יותר מדרך אחת לפתרון.

פתרון מודרך באמצעות נוסחת מרחק נקודה מישר למציאת משוואותיהם של הישרים: שעוברים דרך $(-7,0)$ ומרחקם מהנקודה $(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

הדרכה

ישר מוצג באחת משתי דרכים:

1. משוואה מפורשת: $y=mx+n$

2. משוואה כללית: $Ax+By+C=0$

א. בחרו באחת משתי האפשרויות ורשמו משוואה של ישר שעובר בנקודה $(-7,0)$ .

אם בחרתם במשוואה מפורשת, קיבלתם משפחת ישרים עם פרמטר אחד. (m או n, לפי בחירתכם).

אם בחרתם במשוואה כללית, קיבלתם משפחת ישרים עם שני פרמטרים (שניים מתוך A, B, C, לפי בחירתכם).

ב. השתמשו בנוסחת המרחק של נקודה $(x_0,y_0)$ מישר:

עבור הצגה מפורשת: $d=\frac{|mx_0-y_0+n|}{\sqrt{1+m^2}}$ , עבור משוואה כללית: $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

ובטאו באמצעותה את הנתון הנוסף: המרחק של הישר מ- $(0,1)$ הוא: 5 יחידות אורך.

ג. פתרו את המשוואה שקיבלתם ומצאו את הישר המבוקש. כלומר, מצאו את ערכי הפרמטרים, שעונים על כל תנאי השאלה.

כמה פתרונות קיבלתם? הסבירו גם את המצב הגיאומטרי.

*אם נתקלתם בקושי לפתור משוואה ריבועית עם שני נעלמים, ראו רמז בהמשך.

ד. חזרו על תהליך הפתרון פעם נוספת: אם פתרתם בעזרת משוואה מפורשת של ישר, השתמשו כעת במשוואה כללית ולהיפך.

איזו דרך תעדיפו? נמקו.

רמז: כדי לפתור משוואה מהצורה: $3A^2+4AB-4B^2=0$ אפשר:

1. לפרק לגורמים לפי קבוצות, כמו שמפרקים טרינום במשתנה אחד לגורמים:
$3A^2+4AB-4B^2=3A^2+6AB-2AB-4B^2=$
$3A(A+2B)-2B(A+2B)=(A+2B)(3A-2B)$

2. לפתור משוואה ריבועית ב- $A^2$ ולהתייחס ל-B כאל פרמטר:
$A_{1,2}= \frac{ -4B \pm \displaystyle\sqrt {16B^2+48B^2} }{6}$
3. לחלק ב- $B^2$ ולפתור משוואה ריבועית ב- $\frac {A}{B}$ :
$3 (\frac {A}{B})^2 + 4 (\frac {A}{B}) - 4 =0$
חישבו: מדוע מותר לחלק?

ה. חיזרו על התהליך כדי למצוא את משוואות הישרים העוברים דרך $(5,16)$ ומרחקם מהנקודה $(0,1)$ הוא: 5 יחידות.

הקפידו גם במקרה זה לבצע את התהליך פעמיים: פעם אחת עם משוואה מפורשת של ישר שעובר דרך $(5,16)$ ופעם אחת עם משוואה כללית.

תארו את ההבדלים בין שתי הדרכים.

איזו דרך תעדיפו? נמקו.