הקשר בין גרף פונקציה לגרף הנגזרת שלה - כרטיס מטרה - פולינומים מסוגים שונים - מדרגה 3

לפני טיפול בגרפים אשר בכרטיס המטרה, בצעו את המשימות הבאות:

משימה 1 - פולינום מאוד פשוט

לפניכם גרף של פונקציה 


מטרתכם: לשרטט סקיצה לגרף הנגזרת  

תוכלו להיעזר ביישומון לכרטיס זה.

גררו את הנקודה המסומנת על פני גרף הפונקציה ובחנו את שיפועי המשיקים.

ראו הנחיות לשימוש ביישומונים בפעילות זו, בכרטיס נפרד.







הנחיות
נסו לבנות גרף נגזרת, תוך התייחסות לתכונות של הגרף:
(1) שיפועי המשיקים,

(2) תחומי החיוביות והשליליות שלו,

(3) תחומי העלייה והירידה שלו (ככל שתוכלו לדייק).

תוכלו להיעזר בטבלה הבאה לאיסוף נתונים (מצ"ב טבלה להורדה):

 הפונקציה  x  (f(x  שיפוע המשיק  הנקודה
( , x)
         
       
       
       
       
       

באמצעות אוסף הנקודות שרשמתם, בנו במחברתכם גרף שמתאר את "פונקציית שיפועי המשיקים" – גרף הנגזרת הראשונה.

א. בדקו את עצמכם : שרטטו את גרף הנגזרת באמצעות היישומון ובדקו את ההתאמה לתשובתכם.
ב. תארו את גרף הנגזרת שקיבלתם מבחינת: 
(1) תחומי החיוביות והשליליות שלו.
(2) תחומי העליה והירידה שלו (ככל שתוכלו לדייק).
ג. הסיקו מסקנות ככל שתוכלו: 
(1) מה מתרחש בגרף הנגזרת כאשר לפונקציה יש נקודת קיצון?
(2) כיצד אפשר להבחין בין נקודת מינימום לנקודת מקסימום של הפונקציה לפי גרף הנגזרת?
(3) מה קורה בפונקציה כאשר לנגזרת יש נקודת חיתוך עם ציר x?

אם צדקתם – עברו למשימה 4 – פולינומים פשוטים. אם התקשיתם – פתרו את משימות 2 ו-3 בהמשך – לכל אחת מהן יישומון משלה.
יישומון למשימה 1


משימה 2 - עוד פולינום פשוט מאוד

חזרו על המשימה הקודמת עבור הפונקציה המתוארת בגרף הבא: 



שערו כיצד נראה גרף הנגזרת לפני השימוש ביישומון.

לאחר שתשרטטו את גרף הנגזרת, השתמשו ביישומון ובדקו השערתכם.










הנחיות
תוכלו, גם כאן, כמובן, להשתמש בטבלה שמופיעה במשימה 1.


הקפידו לענות שוב על כל השאלות שמופיעות במשימה 1.

שנו את הפונקציה באמצעות החיצים וחזרו על המשימה עם פונקציות נוספות.

אם צדקתם – עברו למשימה 4. אם התקשיתם – עבדו עם פולינום פשוט מאד נוסף – משימה 3.
יישומון למשימה 2


משימה 3 - עוד פולינום פשוט מאוד 

חזרו שוב על המשימה הקודמת עבור הפונקציה המתוארת בגרף הבא: 


שערו כיצד נראה גרף הנגזרת לפני השימוש ביישומון.

לאחר שתשרטטו את גרף הנגזרת, השתמשו ביישומון ובדקו השערתכם.










הנחיות
תוכלו, גם כאן, כמובן, להשתמש בטבלה שמופיעה במשימה 1.

שנו את הפונקציה באמצעות החיצים וחזרו על המשימה עם פונקציות נוספות.

הקפידו לענות שוב על כל השאלות שמופיעות במשימה 1.
יישומון למשימה 3

משימה 4 - פולינומים נוספים 

לפניכם גרפים של פונקציות נוספות, שרטטו עבור כל אחת מהן את גרף הנגזרת.  

 

  

  
 

הנחיות

עבור כל אחד מהגרפים:

א. נסו לבנות גרף נגזרת, תוך התייחסות לתכונות של הגרף: 

(1) שיפועי המשיקים,

(2) תחומי החיוביות והשליליות שלו,

(3) תחומי העלייה והירידה שלו (ככל שתוכלו לדייק).

ב. ענו על השאלות הבאות: 

(1) מה מתרחש בגרף הנגזרת כאשר לפונקציה יש נקודת קיצון?

(2) כיצד אפשר להבחין בין נקודת מינימום לנקודת מקסימום של הפונקציה לפי גרף הנגזרת?

(3) מה קורה בפונקציה כאשר לנגזרת יש נקודת חיתוך עם ציר x?

(4) מה קורה בנגזרת כאשר לפונקציה יש נקודה שבה שיפוע המשיק אפס, אך היא אינה משנה מגמה, כלומר, ממשיכה לעלות או ממשיכה לרדת?

(5) איפה (על גרף הפונקציה) לנגזרת יש נקודת השקה לציר ה-x, שהיא נקודת מקסימום? מינימום?

(6) נסו להסביר גם איפה לנגזרת יש נקודת קיצון מסוג מינימום? מסוג מקסימום?

חיזרו לכרטיס המטרה. השתמשו ביישומון המתאים לו והשתמשו בהנחיות שבסעיפים א-ב לעיל.
פונקציה 2

פונקציה 3


פונקציה 4